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已知:如图,在⊿ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,点D在边BC上,AD平分∠CAB,E为AC上的一个动点(不与A、C重合),EF⊥AB,垂足为F.

(1)求证:AD=DB;

(2)设CE=x,BF=y,求y关于x的函数解析式;

(3)当∠DEF=90°时,求BF的长.

 

【答案】

(1)在⊿ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,

∴∠CAB=60°.

                       ∵ AD平分∠CAB,

∴∠DAB=30°.  

                 ∴∠DAB=∠B,

∴AD=DB.            

(2)在⊿AEF中,∵∠AFE=90°,∠EAF=60°,∴∠AEF=30°.

  ∴.

在Rt⊿ABC中,∵∠B=30°,AC=6,∴AB=12.

.

                   

(3)当∠DEF=90°时,∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°.

∴∠EDC=30°,ED=2x.               

又∵∠EDA=∠EAD=30°,∴ED=AE=6-x.

∴有 2x=6-x,得x=2.                

此时,.

即BF的长为10.                     

【解析】(1)利用直角三角形两锐角互余,角平分线的定义,最后由等角对等边得出结论。

(2)利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半,

(3)利用(2)的结论,根据等角对等边得到方程求出x值,从而求出BF的长。

 

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