Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为BC上一点，P为AD上一点，且AC=CD，⊙P分别于AB、BC相切，则⊙P的半径为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   2.4
4. D.
   4.8

Answer 1

A
分析：由勾股定理求出AB=10，连接FP、PE，过P作PM⊥AC于M，根据切线的性质得出矩形CMPF，推出PM=CF，PF=CM，设圆P的半径是r，根据切线的性质和切线长定理、等腰三角形的性质得到DF=FP，AM=PM，BE=BF，根据勾股定理得出AP²=AE²+PE²=AM²+PM²，代入即可得到方程，求出方程的解即可．
解答：解：由勾股定理得：AB==10，
连接FP、PE，过P作PM⊥AC于M，
∵∠C=90°，PF⊥BC，
∴四边形CMPF是矩形，
∴PM=CF，PF=CM，
设圆P的半径是r，
∵AC=CD，∠C=90°，
∴∠ADC=45°，
∵PF⊥BC，
∴∠FPD=45°=∠ADC，
∴DF=FP=r，
同理：AM=PM，
∵圆P切AB于E，切BC于F，
∴BF=BE=BD+DF=8-6+r，
∴AE=10-（8-6+r）=8-r，
由勾股定理得：AP²=AE²+PE²=AM²+PM²，
∴（6-r）²+（6-r）²=r²+（8-r）²，
解得：r=1，
故选A．
点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，题型较好，难度适中，综合性强．