Question

11．直线y=x-4和双曲线y=$\frac{2}{x}$的一个交点为（a，b），则$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$=2．

Answer 1

分析 将y=x-4和y=$\frac{2}{x}$联立方程组，求得方程组的解，根据直线y=x-4和双曲线y=$\frac{2}{x}$的一个交点为（a，b），然后分类讨论，即可求得$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$的值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{6}}\\{y=\sqrt{6}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{6}}\\{y=-2-\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∵直线y=x-4和双曲线y=$\frac{2}{x}$的一个交点为（a，b），
∴当a=$2+\sqrt{6}$，b=$\sqrt{6}$-2时，$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{6}-2}-\frac{1}{2+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}+2}{2}-\frac{\sqrt{6}-2}{2}=2$，
当a=2-$\sqrt{6}$，b=-2-$\sqrt{6}$时，$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$=$\frac{1}{-2-\sqrt{6}}-\frac{1}{2-\sqrt{6}}$=$\frac{-（\sqrt{6}-2）}{2}+\frac{\sqrt{6}+2}{2}$=2，
由上可得，$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．