Question

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

Answer 1

分析：作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG²=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．

解答：证明：作DE⊥AC于E，
则AC=

5

4

AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中点，
∴AG=

5

2

ED．
∴

25

4

ED²=AF•

5

4

AE，
∴5ED²=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴

AB

AE

=

AF

ED

，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．

点评：本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质．