Question

17．已知：2¹-2⁰=2⁰
2²-2¹=2¹
2³-2²=2²
…
（1）探索上式中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（2）计算：2⁰+2¹+2²+…+2¹⁰⁰；
（3）仿照此比例的求和方法，求：1+3+5+…+（2n-1）．

Answer 1

分析 （1）根据2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，可得被减数、减数、差都是以2为底数的幂的形式，减数和差的指数相同，被减数的指数比减数和差的指数都多1，据此写出第n个等式，并说明第n个等式成立即可．
（2）根据2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，…，2¹⁰⁰-2⁹⁹=2⁹⁹，2¹⁰¹-2¹⁰⁰=2¹⁰⁰，把这101个算式左右两边分别相加，求出2⁰+2¹+2²+…+2¹⁰⁰的值是多少即可．
（3）根据2-1=1，5-2=3，10-5=5，17-10=7，…，（n²+1）-（n²-2n+2）=2n-1，把这n个算式左右两边分别相加，求出1+3+5+…+（2n-1）的值是多少即可．

解答 解：（1）∵2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，
∴第n个等式是：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
证明：∵2ⁿ-2^n-1
=2^n-1•2-2^n-1
=2^n-1•（2-1）
=2^n-1，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．

（2）∵2¹-2⁰=2⁰，
2²-2¹=2¹，
2³-2²=2²，
…，
2¹⁰⁰-2⁹⁹=2⁹⁹，
2¹⁰¹-2¹⁰⁰=2¹⁰⁰，
∴2⁰+2¹+2²+…+2¹⁰⁰
=2¹-2⁰+2²-2¹+2³-2²+…+2¹⁰⁰-2⁹⁹+2¹⁰¹-2¹⁰⁰
=2¹⁰¹-2⁰
=2¹⁰¹-1

（3）∵2-1=1，
5-2=3，
10-5=5，
17-10=7，
…，
（n²+1）-（n²-2n+2）=2n-1，
∴1+3+5+…+（2n-1）
=2-1+5-2+10-5+17-10+…+（n²+1）-（n²-2n+2）
=n²+1-1
=n²

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1．