Question

杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax²+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（单位：万元），g也是关于x的二次函数．
（1）y关于x的解析式

 

；
（2）纯收益g关于x的解析式

 

；
（3）设施开放

 

个月后，游乐场纯收益达到最大？

 

个月后，能收回投资？

Answer 1

分析：（1）分别把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系数法求解即可；
（2）纯收益g=x个月的总利润-总投资150万-x个月的维修保养费用，化简即可求的g关于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化为顶点式，求得顶点坐标即可知其最大值问题；只有当g＞0时，才能回收投资，所以可根据二次函数g＞0时对应的x值来确定其在第6个月可回收投资．

解答：解：（1）根据题意可知
当x=1时，y=2，
当x=2时，y=6，
所以

a+b=2 4a+2b=6

，
解得

a=1 b=1

，
∴y=x²+x；

（2）纯收益g=33x-150-（x²+x），
=-x²+32x-150；

（3）g=-x²+32x-150=-（x-16）²+106，
即设施开放16个月后游乐场的纯收益达到最大．
又在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，
当x≤5时，g＜0；
而当x=6时，g＞0，
所以6个月后能收回投资．

点评：主要考查了利用二次函数的模型解决实际问题．先根据题意求出二次函数的解析式是解题的关键．求最值问题可利用抛物线的顶点坐标解决．