Question

11．如图，平面直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（-4，4）．

Answer 1

分析 由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+4，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标．

解答 解：BP+PH+HQ有最小值，
理由是：∵直线y=$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
∴OB=8，OA=6，OC=4，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，

∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-12k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直线CQ的关系式为：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-4，4），
故答案为：（-4，4）．

点评 此题是一次函数的综合题，主要考查了：一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与x轴、y轴交点的求法，及利用线段公理求最值问题等，解此题的关键是：利用两点之间线段最短，解决最值问题．