Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合）．将△EBC沿CE翻折至△EFC，延长EF交边AD于点G．

（1）连结AF，若AF∥CE．证明：点E为AB的中点；

（2）证明：GF＝GD；

（3）若AD＝5，设EB＝x，GD＝y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）y＝

【解析】

（1）由翻折的性质可知，∠BEC＝∠FEC，EB＝EF，根据平行线的性质和等量代换可证得∠EAF＝∠EFA，从而可得EA＝EF，进而可得结论；

（2）如图所示，连接CG，由正方形的性质和折叠的性质可得DC＝FC，∠GFC＝∠D=90°，从而可利用HL证明Rt△GFC≌Rt△GDC，进而可得结论；

（3）根据题意可用含x、y的代数式表示出AG，AE，GE，然后在Rt△AEG中由勾股定理即可得出结果．

解：（1）证明：由翻折的性质可知，∠BEC＝∠FEC，EB＝EF，

∵AF∥CE，

∴∠BEC＝∠EAF，∠FEC＝∠EFA，

∴∠EAF＝∠EFA，

∴EA＝EF．

∴EA＝EB，即点E为AB的中点；

（2）证明：如图所示，连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠B＝90°，DC＝BC，

由翻折的性质可知：∠EFC＝∠B＝90°，BC＝FC，

∴∠GFC＝∠D＝90°，FC＝DC，

又∵CG=CG，

∴Rt△GFC≌Rt△GDC（HL），

∴GF＝GD；

（3）∵AD＝5，EB＝x，GD＝y，

∴AG＝5﹣y，AE＝5﹣x，GE＝x+y，

则在Rt△AEG中，∵AG2+AE2＝GE2，

∴（5﹣y）2+（5﹣x）2＝（x+y）2，

整理，得：y＝，

即y与x的函数关系式是y＝．