Question

7．已知方程x²-2x-1=0的两根为m和n，则代数式m³-2m²-n+$\frac{1}{n}$-mn²=0．

Answer 1

分析 先根据m、n是方程x²-2x-1=0的根，得出m²-2m=1，n²-1=2n，再把m³-2m²--n+$\frac{1}{n}$-mn²进行变形，即可得出答案．

解答 解：∵m、n是方程x²-2x-1=0的根，
∴m²-2m-1=0，n²-2n-1=0，mn=-1，
∴m²-2m=1，n²-1=2n，
∴m³-2m²--n+$\frac{1}{n}$-mn²=m（m²-2m）-$\frac{{n}^{2}-1}{n}$-mn²=m-$\frac{2n}{n}$-mn²=m-mn²-2=m（1-n²）-2=-2mn-2=-2×（-1）-2=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$；关键是把要求的式子进行变形．