Question

如图：已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，P是⊙O₁上一点，PB的延长线交⊙O₂于点C，PA交⊙O₂于点D，CD的延长线交⊙O₁于点N．
（1）过点A作AE∥CN交⊙O₁于点E，求证：PA=PE；
（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．

Answer 1

分析：（1）连接AB，根据平行线的性质和圆周角定理的推论，得到∠PAE=∠ADC=∠ABC；
再根据圆内接四边形的性质，得到∠ABC=∠E，从而得到∠PAE=∠E，进一步得到PA=PE；
（2）根据两个角对应相等，易证明△PDN∽△PNA，得到PN²=PD•PA，再结合割线定理进一步求解．

解答：（1）证明：连接AB．
∵四边形AEPB是⊙O₁的内接四边形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O₂中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E．
又∵AE∥CN，
∴∠ADC=∠PAE．
故∠PAE=∠E．
∴PA=PE．

（2）解：连接AN、PN．
∵四边形ANPB是⊙O₁的内接四边形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN²=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN=

PB•PC

=

4×(4+2)

=2

6

．

点评：连接公共弦，是相交两圆常见的辅助线之一．综合运用圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定．