Question

（1）操作并观察：如图a，两个半径为r的等圆⊙O₁与⊙O₂外切于点P．将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O₁相交于A，另一边PB与⊙O₂相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）．在转动过程中；线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
（2）如图b，设⊙O₁与⊙O₂外切于点P，半径分别为r₁、r₂（r₁＞r₂），重复（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r₁、r₂之间有怎样的关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接O₁O₂，O₁A，O₂B．
∵O₁P=O₁A，O₂P=O₂B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO₁P=180°-2∠1，∠BO₂P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO₁∥BO₂．
又∵AO₁=BO₂=r，
所以四边形O₁O₂BA是平行四边形，有AB=O₁O₂=2r．

（2）连接O₁O₂，O₁A，O₂B．
∵O₁P=O₁A，O₂P=O₂B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO₁P=180°-2∠1，∠BO₂P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO₁∥BO₂，
故有AB＞O₁O₂=r₁+r₂．
分析：（1）要证四边形O₁O₂BA是平行四边形，只需证明AB=O₁O₂=2r；
（2）结合AO₁∥BO₂，作BC∥O₁O₂．有∠ACB=∠O₂O₁A，O₁O₂=BC．在△ABC中，由大角对大边知，AB＞BC．故有AB＞O₁O₂=r₁+r₂．
点评：本题利用了等边对等角，平行四边形的判定和性质求解．