Question

四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB的中点，DP⊥CE于点P．
（1）如图1，若∠ADC=90°，求证：CP•CE=2AE²；
（2）如图2，在（1）的条件下，若AB=BC，连接AP并延长交BC于点G，求

AP

PG

的值．
（3）如图3，AB=BC，若D、P、B在同一直线上，AP的延长线交BC于点G，请你直接写出

S△CPG

S△ADP

的值为

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由∠DAB=∠ABC=90°，∠ADC=90°，根据矩形的判定得到四边形ABCD为矩形，则AB=CD，所以CD=2AE=2BE，再证明Rt△PCD∽Rt△BEC，利用相似比得到CD：CE=CP：BE，然后利用等线段代换和比例的性质易得CP•CE=2AE²；
（2）作PH⊥AB于H，如图2，先判断四边形ABCD为正方形，设AE=BE=a，则BC=2a，根据勾股定理计算出CE=

5

a，利用CP•CE=2AE²可计算出CP=

2 5

5

a，则EP=EC-CP=

3 5

5

a，然后证明△EPH∽△ECB，利用相似比可计算出EH=

3

5

a，则AH=AE+EH=

8

5

a，BH=BE-EH=

2

5

a，于是由PH∥BG可根据平行线分线段成比例定理计算得

AP

PG

=

AH

BH

=4；
（3）过P点作MN∥AB，分别交AD、BC于M、N，如图3，先证明△ABD≌△BCE，得到AD=BE，BD=CE，设AE=BE=a，则AD=a，BC=2a，由（2）得CE=

5

a，则BD=

5

a，再证明Rt△BEP∽Rt△BDA，利用相似比得到BP=

2 5

5

a，得到DP=BD-BP=

3 5

5

a；接着证明△DMP∽△DAB，利用相似比计算出DM=

3

5

a，MP=

6

5

a，则根据三角形面积公式可计算出S_△ADP=

3

5

a²；由于AM=AD-DM=

2

5

a，则BN=AM=

2

5

a，而MN=AB=2a，所以PN=MN-PM=

4

5

a，然后证明△GPN∽△GAB，利用相似比计算出GB=

2

3

a，则CG=BC-GB=

4

3

a，则根据三角形面积公式计算出S_△CPG=

8

15

a²，最后计算

S△CPG

S△ADP

的值．

解答：（1）证明：∵∠DAB=∠ABC=90°，∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∵E是AB的中点，
∴CD=2AE=2BE，
∵DP⊥CE于点P，
∴∠DPC=90°，
∴∠CDP+∠PCD=90°，
而∠ECB+∠PCD=90°，
∴∠ECB=∠CDP，
∴Rt△PCD∽Rt△BEC，
∴CD：CE=CP：BE，
∴2AE：CE=CP：AE
∴CP•CE=2AE²；
（2）解：作PH⊥AB于H，如图2，
∵四边形ABCD为矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形，
设AE=BE=a，则BC=2a，
在Rt△BCE中，CE=

BC2+BE2

=

5

a，
∵CP•CE=2AE²，
∴CP=

2a2

5 a

=

2 5

5

a，
∴EP=EC-CP=

3 5

5

a，
∵PH∥BC，
∴△EPH∽△ECB，
∴EH：EB=EP：EC，即EH：a=

3 5

5

a：

5

a，
∴EH=

3

5

a，
∴AH=AE+EH=

8

5

a，BH=BE-EH=

2

5

a，
∵PH∥BG，
∴

AP

PG

=

AH

BH

=

8 5 a

2 5 a

=4；
（3）解：过P点作MN∥AB，分别交AD、BC于M、N，如图3，
∵DP⊥CE于点P，
∴∠BPC=90°，
∴∠BCP+∠PBC=90°，
而∠PBC+∠EBP=90°，
∴∠BCE=∠EBP，
在△ABD和△BCE中

∠BAD=∠CBE AB=BC ∠ABD=∠BCE

，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE，BD=CE，
设AE=BE=a，则AD=a，BC=2a，由（2）得CE=

5

a，
∴BD=

5

a，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽Rt△BDA，
∴BP：BA=BE：BD，即BP：2a=a：

5

a，
∴BP=

2 5

5

a，
∴DP=BD-BP=

3 5

5

a，
∵PM∥AB，
∴△DMP∽△DAB，
∴

DM

DA

=

MP

AB

=

DP

DB

，即

DM

a

=

MP

2a

=

3 5 a 5

5 a

=

3

5

，
∴DM=

3

5

a，MP=

6

5

a，
∴S_△ADP=

1

2

PM•AD=

1

2

•

6

5

a•a=

3

5

a²，
∴AM=AD-DM=

2

5

a，
∴BN=AM=

2

5

a，
∵MN=AB=2a，
∴PN=MN-PM=

4

5

a，
∵PN∥AB，
∴△GPN∽△GAB，
∴

GN

GB

=

PN

AB

，即

GB- 2 5 a

GB

=

4 5 a

2a

，
∴GB=

2

3

a，
∴CG=BC-GB=

4

3

a，
∴S_△CPG=

1

2

PN•CG=

1

2

•

4

5

a•

4

3

a=

8

15

a²，
∴

S△CPG

S△ADP

=

8 15 a2

3 5 a2

=

8

9

．
故答案为

8

9

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形和正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的长；记住三角形的面积公式．