Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G．F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：BG=CF；
（2）求证：CF=2DE；
（3）若DE=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用“ASA”判断△BCG≌△CFA，从而得到BG=CF；
（2）连结AG，利用等腰直角三角形的性质得CG垂直平分AB，则BG=AG，再证明∠D=∠GAD得到AG=DG，所以BG=DG，接着证明△ADE≌△CGE得到DE=GE，则BG=2DE，利用利用△BCG≌△CFA得到CF=BG，于是有CF=2DE；
（3）先得到BG=2，GE=1，则BE=3，设CE=x，则BC=AC=2CE=2x，在Rt△BCE中利用勾股定理得到x²+（2x）²=3²，解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，所以BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AB=$\sqrt{2}$BC=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算AD的长．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠ACG=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=45°，
在△BCG和△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠ACF}\\{BC=CA}\\{∠BCG=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CFA，
∴BG=CF；
（2）证明：连结AG，
∵CG为等腰直角三角形ACB的顶角的平分线，
∴CG垂直平分AB，
∴BG=AG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB，
∴∠D+∠DBA=90°，∠GAD+∠GAB=90°，
∴∠D=∠GAD，
∴AG=DG，
∴BG=DG，
∵CG⊥AB，DA⊥AB，
∴CG∥AD，
∴∠DAE=∠GCE，
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠GCE}\\{AE=CE}\\{∠AED=∠CEG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGE，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
∴BG=2DE，
∵△BCG≌△CFA，
∴CF=BG，
∴CF=2DE；
（3）解：∵DE=1，
∴BG=2，GE=1，即BE=3，
设CE=x，则BC=AC=2CE=2x，
在Rt△BCE中，x²+（2x）²=3²，解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△ABD中，∵BD=4，AB=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{6\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．