【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=的图象与直线y=x+1交于点A(1,a).
(1)求a,k的值;
(2)连结OA,点P是函数y=上一点,且满足OP=OA,直接写出点P的坐标(点A除外).
【答案】(1)a=2,k=2;(2)P的坐标为(﹣1,﹣2),(2,1),(﹣2,﹣1).
【解析】
(1)将点A(1,a)代入y=x+1,求出a的值,得到A点坐标,再把A点坐标代入y=,求出k的值;
(2)设点P的坐标为(x,),根据OP=OA列出方程x2+()2=12+22,解方程即可.
解:(1)∵直线y=x+1经过点A(1,a),
∴a=1+1=2,
∴A(1,2).
∵函数y=的图象经过点A(1,2),
∴k=1×2=2;
(2)设点P的坐标为(x,),
∵OP=OA,
∴x2+()2=12+22,
化简整理,得x4﹣5x2+4=0,
解得x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2,
经检验,x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2都是原方程的根,
∵点P与点A不重合,
∴点P的坐标为(﹣1,﹣2),(2,1),(﹣2,﹣1).
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【题目】如图,有长为 24m 的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 AB 为 xm,面积为 Sm2.
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围;
(2) 要围成面积为 45m2 的花圃,AB 的长是多少米?
(3) 当 AB 的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中:①ac>0;②a+b+c<0;③4a﹣2b+c<0;④2a+b<0;⑤4ac﹣b2<4a;⑥a+b>0中,其中正确的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B,C两点,点B在第一象限.
(1)求二次函数y=﹣+bx+c的表达式;
(2)连接AB,求AB的长;
(3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.
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【题目】小清为班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆三等分,小华帮他设计了一个尺规作图的方法.
小华的作法如下:
(1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O;
(2)分别,以A、B为圆心,以AO(或BO)的长为半径画弧,分别交半圆于点M、N;
(3)连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理:
∵半圆AB
∴ 是直径.
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA=OB(依据: )
∵OA=OM=
∴△OAM为等边三角形(依据: )
∴∠AOM=60°(依据: )
同理可得∠BON=60°
∠AOM=∠BON=∠MON=60°
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【题目】将矩形OABC如图放置,O为原点.若点A(﹣1,2),点B的纵坐标是,则点C的坐标是( )
A. (4,2) B. (2,4) C. (,3) D. (3,)
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【题目】探究:如图①,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥m 于点 D,CE⊥m 于点 E,求证:△ABD≌△CAE.
应用:如图②,在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三点都在直线 m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:DE=BD+CE.
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