Question

12．如图．在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点P为射线AB上一个动点．过点P作PE⊥AB交射线AD于点E．将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 如图1，当∠CDF=90°时，根据菱形的性质得到AB=CD=AD=2，CD∥AB，于是得到∠AFD=∠CDF，求得AF=1，由折叠的性质得到∠EFP=∠A=60°，AE=EF，AP=PF，于是得到AP=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，如图2，当∠DCP=90°，根据平行线的性质得到∠CBF=∠A=60°，根据直角三角形的性质得到BF=$\frac{1}{2}$BC=1，求得AF=3，由折叠的性质得到AP=PF=$\frac{1}{2}AF$=$\frac{3}{2}$．

解答 解：如图1，当∠CDF=90°时，
∴∠AFD=90°，
∵在菱形ABCD中，AB=CD=AD=2，CD∥AB，
∴∠AFD=∠CDF，
∵PE⊥AB，
∴PE∥DF，
∵∠A=60°，
∴AF=1，
由折叠的性质得到∠EFP=∠A=60°，AE=EF，AP=PF，
∴AP=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，
如图2，当∠DCP=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠A=60°，
∵BC=2，∴BF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AF=3，
由折叠的性质得到AP=PF=$\frac{1}{2}AF$=$\frac{3}{2}$，
综上所述：当△CDF为直角三角形时，AP的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．