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13.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=3,BC=6.
(1)求sinC的值;
(2)如图,P为边CD上的一个动点,直线EF过点P,交射线AD于E,交边BC于F,且∠DPB=∠EFB.设DP=x,CF=y.
①求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
②在边CD上是否存在点P,使得△DEP∽△BPF?如果存在,求出x的长;如果不存在,说明理由.

分析 (1)如图1,过D作DE⊥BC于E,根据平行线的性质得到AB⊥AD,推出四边形ABED是矩形,由矩形的性质得到DE=AB=3,BE=AD=2,根据勾股定理求得CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5,于是得到结果;
(2)①根据平角的定义得到∠BPC=∠PFC,推出△BPC∽△CFP,得到比例式$\frac{CF}{CP}=\frac{CP}{BC}$,即$\frac{y}{5-x}=\frac{5-x}{6}$,即可求得函数解析式;
②存在,如图2,连接BD,若△DEP∽△BPF,只能是∠BFE=∠DEF,根据平行线的性质得到∠BFP+∠DEF=180°,于是得到∠BFE=∠DEF=90°,求得BP⊥CD,根据勾股定理列方程即可得到结论.

解答 解:(1)如图1,过D作DE⊥BC于E,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AB⊥AD,
∴四边形ABED是矩形,
∴DE=AB=3,BE=AD=2,
∴CE=4,
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5,
∴sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{3}{5}$;

(2)①∵∠DPB=∠EFB,
∴∠BPC=∠PFC,
∵∠C=∠C,
∴△BPC∽△CFP,
∴$\frac{CF}{CP}=\frac{CP}{BC}$,即$\frac{y}{5-x}=\frac{5-x}{6}$,
∴y=$\frac{1}{6}$x2-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{6}$,(0<x<5);
②存在,如图2,
连接BD,若△DEP∽△BPF,只能是∠BFE=∠DEF,
∵∠BFP+∠DEF=180°,
∴∠BFE=∠DEF=90°,
∵∠DPB=∠EFB,
∴BP⊥CD,
在Rt△ABD和Rt△BCP中,
BD2=AD2+AB2=22+32=13,BP2=BD2-DP2=13-x2=BC2-CP2=62-(5-x)2
解得:x=$\frac{1}{5}$.

点评 本题考查了梯形的性质,矩形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,求函数的解析式,正确的作出辅助线是解题的关键.

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