Question

13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=6．
（1）求sinC的值；
（2）如图，P为边CD上的一个动点，直线EF过点P，交射线AD于E，交边BC于F，且∠DPB=∠EFB．设DP=x，CF=y．
①求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
②在边CD上是否存在点P，使得△DEP∽△BPF？如果存在，求出x的长；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过D作DE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AB⊥AD，推出四边形ABED是矩形，由矩形的性质得到DE=AB=3，BE=AD=2，根据勾股定理求得CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5，于是得到结果；
（2）①根据平角的定义得到∠BPC=∠PFC，推出△BPC∽△CFP，得到比例式$\frac{CF}{CP}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{y}{5-x}=\frac{5-x}{6}$，即可求得函数解析式；
②存在，如图2，连接BD，若△DEP∽△BPF，只能是∠BFE=∠DEF，根据平行线的性质得到∠BFP+∠DEF=180°，于是得到∠BFE=∠DEF=90°，求得BP⊥CD，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=3，BE=AD=2，
∴CE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5，
∴sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{3}{5}$；

（2）①∵∠DPB=∠EFB，
∴∠BPC=∠PFC，
∵∠C=∠C，
∴△BPC∽△CFP，
∴$\frac{CF}{CP}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{y}{5-x}=\frac{5-x}{6}$，
∴y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{6}$，（0＜x＜5）；
②存在，如图2，
连接BD，若△DEP∽△BPF，只能是∠BFE=∠DEF，
∵∠BFP+∠DEF=180°，
∴∠BFE=∠DEF=90°，
∵∠DPB=∠EFB，
∴BP⊥CD，
在R_t△ABD和R_t△BCP中，
BD²=AD²+AB²=2²+3²=13，BP²=BD²-DP²=13-x²=BC²-CP²=6²-（5-x）²，
解得：x=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．