Question

7．如图，一次函数y=-x+5的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式与点B坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）在第一象限内，当一次函数y=-x+5的值小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数图象上，可求出点A的坐标，结合点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数k的值，从而得出反比例函数解析式；联立一次函数解析式和反比例函数解析式，解方程组即可得出结论；
（2）延长AB交x轴与点C，由一次函数解析式可找出点C的坐标，通过分割图形利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系即可得出不等式的解集．

解答 （1）∵一次函数y=-x+5的图象过点A（1，n），
∴n=-1+5，解得：n=4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）过点A（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（4，1）．
（2）延长AB交x轴与点C，则C（5，0），如图所示．

∵A（1，4），B（4，1），
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•y_A-$\frac{1}{2}$OC•y_B=10-$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$．
（3）观察函数图象，发现：
当0＜x＜1或x＞4时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当一次函数y=-x+5的值小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的值时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成二元一次方程组；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象上下关系结合交点横坐标解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标是关键．