Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为

 

．

Answer 1

分析：先连接OE、OF，由于ACBC是切线，可知∠OEC=∠OFC=90°，又OE=OF，∠C=90°，可证四边形CEOF是正方形，易得OE∥BC，而O是AB的中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证AE=CE，易求AE=CE=1，即OH=1，利用OE∥CD，可得△OEH∽△BDH，利用相似三角形的性质可求BD，从而易求CD．

解答：解：如右图所示，连接OE、OF，
∵⊙O与AC、BC切于点E、F，
∴∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OE∥BC，
又∵O是AB的中点，
∴AE=CE，
又∵AC=2，
∴AE=CE=1，
∴OE=OF=CE=1，
∴OH=1，
∵OE∥CD，
∴△OEH∽△BDH，
∴

OE

OH

=

DB

BH

，
又∵AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∴OB=

2

，
∴

1

1

=

DB

2 -1

，
∴BD=

2

-1，
∴CD=2+BD=

2

+1．

点评：本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质．解题的关键是构造正方形CEOF．