Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE

（1）求证：PC∥AE；

（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BE＝12．

【解析】

（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到，根据圆周角定理得∠ACG=∠CAE，则AF=CF=5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF=3，AD=4，再证明△OAH≌△OCD得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．

解：（1）证明：连接OC，如图，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵C是弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∴PC∥AE；

（2）设OC与AE交于点H，如图，

∵CG⊥AB，

∴，

∴，

∴∠ACG＝∠CAE，

∴AF＝CF＝5，

∵PC∥AE，

∴∠EAB＝∠P，

在Rt△ADF中，

∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，

∴DF＝3，AD＝4，

在△OAH和△OCD中,

，

∴△OAH≌△OCD（AAS），

∴AH＝CD＝5+3＝8，

∴AE＝2AH＝16，

∵∠DAF＝∠EAB，

∴Rt△ADF∽Rt△AEB，

∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，

∴BE＝12．