Question

19．在等腰 Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2，D是BC边上的点且BD=$\frac{1}{3}$CD，连接AD．AD⊥AE，AE=AD，连接BE．下列结论：
①△ADC≌△AEB；
②BE⊥CB；
③点B到直线AD的距离为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$；
④四边形AEBC的周长是$\frac{{7\sqrt{2}+\sqrt{10}}}{2}+2$；
⑤S_{四边形ADBE}=2．
其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 用同角的余角相等即可得出∠BAE=∠CAD，进而判断出△ADC≌△AEB，得出①正确；用全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACD，再利用等腰直角三角形的性质得出∠ABE=∠ABC=∠ACB=45°即可得出②正确；先求出BD，AD，再用等面积法求出BM即可得出③正确；用四边形的周长的计算方法即可得出④正确；用全等三角形的面积相等转化即可得出⑤正确．

解答 解：∵AD⊥AE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB故①正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴∠ABE=∠ACD，
∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴BE⊥BC，故②正确；
如图，作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M．
∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，AN=BN=NC=$\sqrt{2}$，
∵BD=$\frac{1}{3}$CD，
∴BD=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$BD•AN=$\frac{1}{2}$AD•BM，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$•BM，
∴BM=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，故③正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴AE=AD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，BE=CD=3BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴四边形AEBC的周长是AE+EB+BC+AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2$\sqrt{2}$+2=$\frac{7\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$+2，故④正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴S_△ADC=S_△AEB，
∴S_{四边形ADBE}=S_△ABD+S_△ABE=S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC=2，故⑤正确；
即：正确的有①②③④⑤共五个，
故选D．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积计算和周长的计算；解本题的关键是求出BM的长度．