Question

2．如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2$\sqrt{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质可得AD=AE，∠DAG=∠EAG，易得△AGE≌△AGD；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF²=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

解答 （1）证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的，
∴AD=AE，∠DAG=∠EAG，
又∵AG=AG
∴△AGE≌△AGD；

（2）AF×GF=2EG²，
证明如下：
连接DE交GF于点O
∵△AEF是由△ADF折叠得到的
∠DAG=∠EAG，DF=EF
∵△AGE≌△AGD
∴GD=GE，∠AGD=∠AGE
∴∠FGD=∠FGE
∵EG∥CD
∴∠DFG=∠FGE
∴∠FGD=∠DFG
∴GD=DF
∴GD=EG=EF=DF
∴四边形DGEF是菱形
AF⊥DE，OF=$\frac{1}{2}$GF
∴∠ADF=∠DOF=90°
又∵∠DFO=∠DFA
∴△DFO∽△AFD
∴$\frac{OF}{DF}=\frac{DF}{AF}$
∴OF×AF=DF²
∵OF=$\frac{1}{2}$GF，DF=EG
∴$\frac{1}{2}$GF×AF=EG²
即：AF×GF=2EG²

（3）过点G作GH⊥CD于H
则四边形CHGE是矩形，
∴CE=GH
设GF=x，则AF=6+x
∵AF×GF=2EG²EG=2$\sqrt{5}$
∴x（6+x）=40
解得：x=4
∴GF=4，
∴AF=6+4=10
在Rt△AEF中
AE=$\sqrt{A{F^2}-E{F^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=4\sqrt{5}$
∴BC=AD=AE=4$\sqrt{5}$
∵GH∥AD
∴△FGH∽△FAD
∴$\frac{GF}{AF}=\frac{GH}{AD}$
∴$\frac{4}{10}=\frac{GH}{{4\sqrt{5}}}$
∴CE=GH=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$
∴BE=BC-CE=4$\sqrt{5}$-$\frac{8}{5}\sqrt{5}$=$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF²=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．