Question

【题目】已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式．

（2）已知实数，请证明：，并说明为何值时才会有．

（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式．

（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则两点间的距离）

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，当且仅当x＝1时，成立；（3），SΔAOB的最小值为1，直线OA的一次函数解析式为y＝x

【解析】

（1）直接利用待定系数法求出解析式即可；

（2）利用平方的非负数可知：，移项即可解答；

（3）根据平移规则得到的解析式：. 则Ａ(m，m２)，B（n，n２），利用勾股定理列式求得：，代入面积公式得到SΔAOB===，再利用（2）中结论即可得出结论．

（1）∵ 抛物线过点，

∴，∴，

∴.

又∵ 抛物线的对称轴为直线

∴ ，即.

∴ 抛物线的解析式为.

（2） ∵，∴，

∴，当且仅当x＝1时，成立.

（3）由（1）知抛物线解析式为，

抛物线是抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到的，

∴ 抛物线的解析式为.

∵，是上的两个不同点，

∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）.

又∵，，，

∴ OA2+OB2=AB2，

∴ m2＋m4＋n2＋n4＝(m－n)2＋(m2－n2)2，

化简得：.

∵ SΔAOB==

.

由（2）知：当且仅当时，上式等号成立.

又∵，，且，

∴，，

∴ SΔAOB的最小值为１，此时m＝1，Ａ(1,1)，

∴ 直线OA的一次函数解析式为y＝x．