在平面直角坐标系xOy中.对于P.给出如下定义:若b′=$\left\{\begin{array}{l}{b}\end{array}\right.$.则称点Q为点P的限变点．例如:点(2.3)的限变点的坐标是的限变点的坐标是．的限变点的坐标是,.B中.哪一个点是函数y=$\frac{2}{x}$图象上某一个点的限变点?并说明理由,在函数y=-x+3的图象上.其限变点Q的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．在平面直角坐标系xOy中，对于P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=$\left\{\begin{array}{l}{b（a≥1）}\\{-b（a＜1）}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）点（$\sqrt{3}$，1）的限变点的坐标是（$\sqrt{3}$，1）；
（2）判断点A（-2，-1）、B（-1，2）中，哪一个点是函数y=$\frac{2}{x}$图象上某一个点的限变点？并说明理由；
（3）若点P（a，b）在函数y=-x+3的图象上，其限变点Q（a，b′）的纵坐标的取值范围是-6≤b′≤-3，求a的取值范围．

分析（1）根据限变点的定义即可直接求解；
（2）求得A和B的限变点，然后判断限变点是否在反比例函数的图象上即可；
（3）分成a≥1和a＜1两种情况，然后根据-6≤b′≤-3，得到关于a的不等式，从而求得．

解答解：（1）点（$\sqrt{3}$，1）的限变点的坐标是（$\sqrt{3}$，1）．
答案是：（$\sqrt{3}$，1）；
（2）A（-2，-1）的限变点是（-2，1）、B（-1，2）的限变点是（-1，-2）．
点（-2，1）不在函数y=$\frac{2}{x}$上，则（-2，-1）不是y=$\frac{2}{x}$图象上某点的限变点；
（-1，-2）在y=$\frac{2}{x}$的图象上，则（-1，2）是y=$\frac{2}{x}$图象上某点的限变点；
（3）当a≥1时，b=-a+3，则-6≤-a+3≤-3，
解得：6≤a≤9；
当a＜1时，b=a-3，则-6≤a-3≤-3，
解得：-3≤a≤0．
故a的范围是：-3≤a≤0或6≤a≤9．

点评本题考查了二次函数图象上的点与坐标的关系，正确读懂题意，理解题目中的限变点的定义是关键．

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∵AP=$\frac{1}{2}$AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABD
∵PD=AD-AP=$\frac{1}{2}$AD，△CDP和△CDA的高相等
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{2}$S_△ABD-$\frac{1}{2}$S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-$\frac{1}{2}$ （S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-$\frac{1}{2}$ （S_{四边形ABCD}-S_△ABC）=$\frac{1}{2}$S_△DBC+$\frac{1}{2}$S_△ABC
（1）当AP=$\frac{1}{3}$AD时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式并证明；
（2）当AP=$\frac{1}{6}$AD时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：S_△PBC=$\frac{1}{6}$S_△DBC+$\frac{5}{6}$S_△ABC；
（3）一般地，当AP=$\frac{1}{n}$AD（n表示正整数）时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系为：S_△PBC=$\frac{1}{n}$S_△DBC+$\frac{n-1}{n}$S_△ABC；
（4）当AP=$\frac{b}{a}$AD（0≤$\frac{b}{a}$≤1）时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：S_△PBC=$\frac{b}{a}$S_△DBC+$\frac{a-b}{a}$S_△ABC．

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