Question

已知，如图抛物线y＝ax²＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)∴y＝x²＋x－3
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝＋·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.
∵A(－4,0)，C(0，－3)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
代入求得：y＝－x－3，
令D，M，
则DM＝－x－3－＝－ (x＋2)²＋3.
当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD面积有最大值.
(3)如图①所示，讨论：①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，
∵C(0，－3)，令x²＋x－3＝－3得x₁＝0，x₂＝－3，
∴CP₁＝3.∴P₁(－3，－3)．
②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，

当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C(0，－3)，
∴可令P(x,3)，由x²＋x－3＝3得：x²＋3x－8＝0，
解得x₁＝或x₂＝，
此时存在点P₂和P₃.
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P₁(－3，－3)，P₂，P₃.

（1）先求出抛物线的对称轴，再由OC＝3OB＝3，a>0，即可求得C点坐标，由B(1,0)、C(0，－3)根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。先表示出四边形ABCD的面积，再求出直线AC的函数解析式，即可表示出DM的长，根据二次函数的性质即可得到结果；
分情况讨论：①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形。