Question

如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

Answer 1

分析：（1）要证DC是⊙O₁的切线，只要连接O₁C，求证∠O₁CD=90°即可；
（2）运用切割线定理DB的长，再运用勾股定理求出BC的长，再证明△BCD∽△CEB，解得CE=5．

解答：（1）证明：
证法一：过点C作⊙O₁的直径CE，并连接BE（1分）
∵∠BCD=∠A，∠E=∠A
∴∠BCD=∠E（3分）
∵CE为⊙O₁的直径
∴∠CBE=90°（4分）
∴∠E+∠ECB=90°
∴∠BCD+∠ECB=90°
即EC⊥CD
∴CD为⊙O₁的切（6分）
证法二：过C作⊙O₁的直径CE，连AE，利用圆内接四边形的外角的性质进行证明．
证法三：连OO₁、O₁O₂并延长O₁O₂交

BC

于点M，利用圆心角关系进行证明．

（2）解：
解法一：∵CD为⊙O₁的切线
∴CD²=DB•DA=DB•（DB+AB）由CD=2，AB=3
解得DB=1，DB=-4（舍去）（8分）
∵CB为⊙O₂的直径
∴∠D=90°，则BC=

DC2+DB2

=

22+12

=

5

（9分）
∴△BCD∽△CEB
∴

BC

CE

=

BD

CB

∴

5

CE

=

1

5

，解得CE=5．（12分）
解法二：在求出DB=1的基础上，过O作OF⊥AB垂足为F，由四边形O₁CDF是矩形进行解答；
解法三：在求出DB=1的基础上，由△O₁O₂C∽△COB可求出半径；
解法四：在求出DB=1的基础上，根据勾股定理，求AC；由△CDB∽△CAE可求出直径．

点评：本题考查的是切线的判定，同时考查了相似三角形的判定和性质，切割线定理，勾股定理．