Question

填空：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=

-1

，x₂=

-1

，则x₁+x₂=

-2

，x₁•x₂=

1

；
（2）方程x²-3x-1=0的根为x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，则x₁+x₂=

3

，x₁•x₂=

-1

；
（3）方程3x²+4x-7=0的根为x₁=

-

7

3

，x₂=

1

，则x₁+x₂=

-

4

3

，x₁•x₂=

-

7

3

．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题：已知22+

3

是方程x²-44x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；
（2）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；
（3）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；由（1）（2）（3）中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比，进而求出另一个根及C的值即可．

解答：解：（1）方程x²+2x+1=0，
∵b ²-4ac=0，
∴x₁=x₂=-

2

2

=-1，
则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
故答案为：-1，-1，-2，1；

（2）方程x²-3x-1=0，
∵b ²-4ac=9+4=13＞0，
∴x=

3± 13

2

，
x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，则x₁+x₂=3，x₁•x₂=-1；
故答案为：

3+ 13

2

，

3- 13

2

，3，-1；


（3）方程3x²+4x-7=0
∵b ²-4ac=16+84=100＞0，
∴x=

-4± 100

6

，
∴x₁=-

7

3

，x₂=1，则x₁+x₂=-

4

3

，x₁•x₂=-

7

3

．
由（1）（2）（3）能得到：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵当b ²-4ac＞0，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴x ₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵22+

3

是方程x²-44x+C=0的一个根，
∴x₁+x₂=22+

3

+x₂=-

-44

1

=44，
∴x₂=22-

3

，
∴x₁x₂=（22+

3

）（22-

3

）=C，
∴C=-481．

点评：本题考查了根与系数的关系以及解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．