Question

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程．
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点M，连接EM，根据同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，证明△MAE≌△CEF即可；
（2）在AB上取点P，连接EP，同（1）的方法相似，证明△PAE≌△CEF即可；
（3）延长BA至H，使AH=CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF即可．

解答 （1）证明：如图1，取AB的中点M，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AM=EC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠ECF}\\{AM=CE}\\{∠MAE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（2）如图2，在AB上取点P，连接EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AP=EC，
∴BP=BE，
∴∠BPE=45°，∠APE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△PAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠CEF}\\{PA=EC}\\{∠APE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（3）如图3，延长BA至H，使AH=CE，连接HE，
∵BA=BC，AH=CE，
∴BH=BE，
∴∠H=45°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=45°，
∴∠H=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\\{∠H=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴AE=EF．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的正确运用．