直线y=x-6与x轴.y轴分别交于点A.B.点E从B点出发.以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动.过E作EF∥AB.交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠.得到四边形DCEF.其中.点A的对应点为点D.点B的对应点为点C.线段CD交y轴于H点.设点E的运动时间为t秒．(1)求证:四边形DHEF为平行四边形,(2)当t为何值时.四边形DHEF为菱形,(3)设四边形DCEF落在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（点E不能到达点O），过E作EF∥AB，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，其中，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，线段CD交y轴于H点，设点E的运动时间为t秒．

（1）求证：四边形DHEF为平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形DHEF为菱形；
（3）设四边形DCEF落在第一象限的图形面积为S，求S与t的函数表达式．

分析（1）由直线AB的解析式可得出OA=OB，从而得出∠BAO=45°，∠OFE=45°，∠AFE=135°，结合折叠的性质可得出∠DFE=135°，进而得出∠AFD=90°，即DF⊥x轴，DF∥EH，根据两组对边分别平行即可证出四边形DHEF为平行四边形；
（2）根据菱形的性质可得出EF=DF，从而可得出关于时间t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）根据四边形DCEF落在第一象限内的图形的形状不同分两种情况考虑，根据折叠的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．

解答（1）依照题意画出图形，如图1所示．
∴直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵AB∥EF，
∴∠OFE=45°，∠AFE=135°．
由折叠的性质可知：∠DFE=135°，
∴∠AFD=90°，即DF⊥x轴，
∴DF∥EH，
∵DH∥EF，
∴四边形DHEF为平行四边形．
（2）要使平行四边形DHEF为菱形，只需EF=DF，
∴$\sqrt{2}（6-t）=t$，
∴$t=\frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+1}}=12-6\sqrt{2}$．
（3）分两种情况讨论（如图2所示）：
①当0＜t≤3时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，
此时GF=DF=t，
∴S=$\frac{1}{2}{t^2}$；
②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是梯形，
此时DF=GF=t，OG=OH=2t-6，
∴S=$\frac{1}{2}{t^2}$-$\frac{1}{2}$（2t-6）²=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+12t-18=$-\frac{3}{2}{（t-4）^2}+6$．
综上可知：S与t的函数表达式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{3}{2}（t-4）^{2}+6（3＜t＜6）}\end{array}\right.$．

点评本题考查了平行四边形的判定、折叠的性质、菱形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）找出DF∥EH；（2）找出关于t的一元一次方程；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据折叠的性质找出相等的边角关系是关键．

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