Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在直线AB上，且DE=CE．
（1）如图（1），若∠DEC=∠A=90°，BC=3，AD=2，求AB的长；
（2）如图（2），若DE交BC于点F，∠DFC=∠AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？并加以证明．

Answer 1

分析：（1）推出∠ADE=∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE=BC，BE=AD，代入求出即可；
（2）推出∠A=∠EBC，∠AED=∠BCE，根据AAS证△AED≌△BCE，推出AD=BE，AE=BC，即可得出结论．

解答：（1）解：∵∠DEC=∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B+∠A=180°，
∴∠B=∠A=90°，
在△AED和△CEB中

∠A=∠B ∠ADE=∠BEC DE=EC

，
∴△AED≌△CEB，
∴AE=BC=3，BE=AD=2，
∴AB=AE+BE=2+3=5．

（2）AB+AD=BC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠EBC，
∵∠DFC=∠AEC，
∠DFC=-∠BCE+∠DEC，∠AEC=∠AED+∠DEC，
∴∠AED=∠BCE，
在△AED和△BCE中

∠AED=∠BCE ∠A=∠EBC DE=EC

，
∴△AED≌△BCE，
∴AD=BE，AE=BC，
∵BC=AE=AB+BE=AB+AD，
即AB+AD=BC．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行线的性质等知识点的运用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．