精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(1)观察与猜想:已知当0°<α<60°时,下列关系式有且只有一个正确,正确的是______(填代号)
A.2sin(30°+α)=sinα+   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
C.2sin(30°+α)=sinα+cosα.
(2)探究与证明:如图1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,请利用图1证明(1)中你猜想的结论;
(3)应用新知识解决问题:
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内,BD=8,求S△ABC

【答案】分析:(1)正确的选项为C;
(2)过A作AD⊥BM,交BC延长线于点M,过C作CE⊥AB,在直角三角形ABM中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半,得到AM等于AB的一半,再由∠ACM为三角形ABC的外角,利用外角性质得到∠ACM=30°+α,在直角三角形AEC中,表示出EC与AE,在直角三角形BEC中,表示出BE,由AE+EB表示出AB,化简后即可得证;
(3)由上述结论2sin(30°+45°)=sin45°+cos45°,求出sin75°的值,过A作AE垂直于BC,由BD分别求出AB与BC的长,在直角三角形AB中,利用锐角三角函数定义求出AE的长,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答:解:(1)正确的选项为C;
(2)过A作AM⊥BM,交BC延长线于点M,过C作CE⊥AB,
∵∠AMB=90°,∠B=30°,
∴AM=AB,即AB=2AM,
∵∠ACM为△ABC的外角,
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α,
在Rt△ACM中,AC=1,
∴AM=ACsin∠ACM=sin(30°+α),
则AB=2sin(30°+α),
在Rt△AEC中,EC=ACsinα=sinα,AE=ACcosα=cosα,
在Rt△BEC中,BE==CE=sinα,
则AB=BE+AE=sinα+cosα,
则2sin(30°+α)=sinα+cosα;
(3)∵∠ABD=45°,∠CBD=30°,
∴2sin(30°+45°)=sin45°+cos45°=
∴sin75°=
过A作AE⊥BC,
在等腰直角三角形ABD中,BD=8
∴AB=AD=8,
在Rt△BCD中,BD=8
∴CD=4,BC==4
在Rt△ABE中,sin75°=
∴AE=8×=2+2
则S△ABC=BC•AE=×4×(2+2)=24+8
点评:此题属于解直角三角形题型,涉及的知识有:含30°直角三角形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,以及特殊角的三角函数值,熟练性质及定理是解本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:矩形纸片ABCD中,AB=26厘米,BC=18.5厘米,点E在AD上,且AE=6厘米,点P是AB边上一动点.按如下操作:
步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图1所示);
步骤二,过点P作PT⊥AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE(如图2所示)
(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ
 
QE(填“>”、“=”、“<”号);
(2)如图3所示,将纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:
①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是(
 
 
);
②当PA=6厘米时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是(
 
 
);
③当PA=12厘米时,在图3中画出MN,PT(不要求写画法),并求出MN与PT的交点Q3的坐标;
(3)点P在运动过程,PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2,Q3,…观察、猜想:众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式.③③
精英家教网精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•龙岩质检)观察、猜想、探究
已知矩形ABCD中,直线l垂直AC于点C,点E是BC上的动点(不与点C重合),过点E作EF⊥AE交直线l于点F.
(1)如图①,当AB=BC,E为BC中点时,猜想线段AE与FE有何数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图②,已知AB=3,AD=4.
①当点E与点B重合时,求AE:EF的值;
②探究:当点E在线段BC上运动时,AE:EF的值是否发生改变?若不变,请求出该值并给予证明;若发生改变,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(1)观察与猜想:已知当0°<α<60°时,下列关系式有且只有一个正确,正确的是
C
C
(填代号)
A.2sin(30°+α)=sinα+
3
   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
3

C.2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα.
(2)探究与证明:如图1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,请利用图1证明(1)中你猜想的结论;
(3)应用新知识解决问题:
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内,BD=8
2
,求S△ABC

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

(1)观察与猜想:已知当0°<α<60°时,下列关系式有且只有一个正确,正确的是______(填代号)
A.2sin(30°+α)=sinα+数学公式 
B.2sin(30°+α)=2sinα+数学公式
C.2sin(30°+α)=数学公式sinα+cosα.
(2)探究与证明:如图1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,请利用图1证明(1)中你猜想的结论;
(3)应用新知识解决问题:
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内,BD=8数学公式,求S△ABC

查看答案和解析>>

同步练习册答案