Question

18．如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E．
（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明（不添加其他线条的情况下）；
（2）若∠D=45°，BC=4，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；
（2）求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．

解答 解：（1）结论：△ABE∽△DCE，
证明：在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE．

（2）作⊙O的直径BF，连接CF，
∴∠F=∠D=45°，∠BCF=90°．
∴△BCF是等腰直角三角形．
∵FC=BC=4，
∴BF=4$\sqrt{2}$．
∴OB=2$\sqrt{2}$．
∴S_⊙O=OB²•π=8π．

点评 本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理．需要掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角．