Question

如图，BA、BC为⊙O的弦，且BA=BC，BA⊥BC，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形OEBF是正方形；
（2）若D点为的中点，连接AF并过D点作DM⊥AF于点M，过B点作BN⊥AF于点N．
①试猜想线段DM、BN、MN之间的数量关系，并证明你的猜想．
②若⊙O的半径为，求DM的长．

Answer 1

解：（1）∵BA⊥BC，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，
∴∠OEB=∠OFB=∠FBE=∠BEO=90°，BE=AB，BF=BC，
∴四边形OEBF是矩形，
又BA=BC，
∴BE=BF，
∴四边形OEBF是正方形．

（2）①连接AD，如图示，
∵AB=BC，
弧AB=弧BC，
∵点D是弧AC的中点，
∴弧DC=弧AB=弧AD，
∴∠DAC=∠C，AD=AB，
∠BFA=∠C+∠FAC，∠MAD=∠DAC+∠FAC，
∴∠BFA=∠MAD，
而∠BFA=∠ABN，
∴∠ABN=∠MAD，
又因为∠ANB=∠DMA=90°，
∴△ABN≌△DAM，
∴DM=AN，AM=BN，
∴NM=AN-AM=DM-BN，
即NM=DM-BN．
②∵⊙O的半径为，
∴AB=BC=4，
∴BE=OE=OF=BF=2，
根据勾股定理，，
∴BF²=NF²•AF²，即2²=NF²•（2）²，
解得NF=，所以DM=AN=．
分析：（1）四边形OEBF中，有四个角是直角，所以四边形是矩形，又因为BE=BF，所以矩形OEBF是正方形．
（2）①连接AD，根据已知条件，易证△ABN≌△DAM，所以DM=AN，AM=BN，所以NM=AN-AM=DM-BN．
②若已知⊙O的半径，可以求出AB=BC=4，所以BE=OE=OF=BF=2，所以可求出AF=2，进而求出DM=AN=．
点评：本题主要应用垂径定理和相似形的知识解题，此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．