Question

【题目】问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1=x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；

（应用）：

（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为　 ．

（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD=2，则点D的坐标为　 　．

（拓展）：

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5．

解决下列问题：

（1）已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），求d（E，F）；

（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）=3，求t的值；

（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，求d（P，Q）．

Answer 1

【答案】【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）5；（2）t=±2；（3）d（P，Q）的值为4或8．

【解析】

（1）根据若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1-x2|，代入数据即可得出结论；
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD=2即可得出|0-m|=2，解之即可得出结论；
【拓展】：（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；
（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）=3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论．

解：【应用】：

（1）AB的长度为|﹣1﹣2|=3．

故答案为：3．

（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），

∵CD=2，

∴|0﹣m|=2，解得：m=±2，

∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．

【拓展】

：

（1）d（E，F）=|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|=5．

故答案为：5．

（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）=3，

∴|2﹣1|+|0﹣t|=3，

解得：t=±2．

（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），

∵三角形OPQ的面积为3，

∴|x|×3=3，解得：x=±2．

当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）=|3﹣2|+|3﹣0|=4；

当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）=|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|=8

综上所述，d（P，Q）的值为4或8．