Question

17．如图，在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，将△ABC沿AC翻折至△AEC，使点B的对应点E落在?ABCD所在的平面内，连接ED，若△AED是直角三角形，则BC的长为4或6．

Answer 1

分析 在平行四边形ABCD中，AB＜BC，要使△AED是直角三角形，有两种情况：∠EAD=90°或∠AED=90°，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长．

解答 解：分两种情况：
①如图1，当∠EAD=90°，AB＜BC时，
∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
∵AD∥BC，∠EAD=90°，
∴∠EGC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠AEC=30°，
∴GC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3，
∴BC=2BG=6；

②如图2，当∠AED=90°时，
∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
又∵AE=AB=CD，AC=CA，
∴△ACE≌△CAD（SSS），
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴FE=FD，
∴∠FED=∠FDE，
∴∠AED=∠CDE，
∵∠AED=90°，
∴∠CDE=90°，
∴AE∥CD，
又∵AB∥CD，
∴B，A，E在同一直线上，
∴∠BAC=∠EAC=90°，
∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=AB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
∴当BC的长为4或6时，△AED是直角三角形．
故答案为：4或6．

点评 本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．