Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径两弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

（1）AB　 　AF（选填“＝”，“≠”，“＞”，“＜”）：AE　 　∠BAD的平分线．（选填“是”或“不是”）

（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABEF是菱形．

（3）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为　 　，∠ABC＝　 　°．

Answer 1

【答案】（1）＝，是；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据角平分的性质和尺规作图原理即可得到答案；

（2）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（3）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．

（1）解：AB＝AF；AE平分∠BAD的平分线；

故答案为＝，是；

（2）证明：∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE＝∠FAE，

∵AF∥BE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝EB，

而AF＝AB，

∴AF＝BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形，

而AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（3）解：∵四边形ABEF是菱形；

而四边形ABEF的周长为40，

∴AB＝10，OA＝OE，OB＝OF＝5，AE⊥BF，

∴△ABF为等边三角形，

∴∠BAF＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∵OA＝OB＝5，

∴AE＝2OA＝10．

故答案为10，120．