Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM＝2，则线段ON的长为_____．

Answer 1

【答案】1．

【解析】

作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH，CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似三角形的性质可计算出ON的长．

解：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH＝45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH＝MH＝AM＝×2＝，

∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥BC

∴BM＝MH＝，

∴AB＝2+，

∴AC＝AB＝2+2，

∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴＝，即＝，

∴ON＝1．

故答案为：1．