Question

如图，ABCD为平行四边形，AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.

（1）  求证：DF="FE;"
（2）  若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC,求BE的长;
（3）  在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.

Answer 1

(1)证明：延长DC交BE于点M，

∵BE∥AC，AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE;
（2）由（2）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF,
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE="2BM=2ME=2AC," 又∵AC⊥DC,
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.
(3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,
在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,
由CF是△DME的中位线得CM=DC=,
四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=,BM=AC=,
∴梯形ABMD面积为：;
由AC⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，
其面积为：,
∴四边形ABED的面积为+

（1）可过点C延长DC交BE于M，可得C，F分别为DM，DE的中点；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；
（3）求四边形ABED的面积，可分解为求梯形ABMD与三角形DME的面积，然后求两面积之和即可．