【题目】如图1,已知抛物线L1:y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,在L1上任取一点P,过点P作直线l⊥x轴,垂足为D,将L1沿直线l翻折得到抛物线L2,交x轴于点M,N(点M在点N的左侧).
(1)当L1与L2重合时,求点P的坐标;
(2)当点P与点B重合时,求此时L2的解析式;并直接写出L1与L2中,y均随x的增大而减小时的x的取值范围;
(3)连接PM,PB,设点P(m,n),当n= m时,求△PMB的面积.
【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面积为或3
【解析】
(1)由配方法可得顶点坐标;
(2)由对称性求出抛物线L2的顶点,进而得到解析式,由图象可得;
(3)利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n,分类讨论求△PMB的面积.
(1)由抛物线对称性,当点P为抛物线L1的顶点时,抛物线L1与L2重合
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴点P(1,4)
(2)在抛物线L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0
解得x1=-1,x2=3
当点P与点B重合时,此时P(3,0)
∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称
∴抛物线L2的顶点为(5,4)
∵由抛物线对称性可知,抛物线L1和L2开口方向和大小相同.
∴抛物线L2和的解析式为y=-(x-5)2+4=-x2+10x-21
∴结合图象可知,当x≥5时,抛物线L1与抛物线L2中,y均随x的增大而减小
(3)当n=m时,-m2+2m+3=
m
解得m1=-,m2=2
∴点P坐标为(-,-
)或(2,3)
①如图1,
当点P坐标为(-,-
)时,点D的坐标为坐标为(-
,0)
∴DB=3-(-)=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=MBPD=
×9×
=
②如图2,
当点P坐标为(2,3)时,点D的坐标为坐标为(2,0)
∴DB=3-2=1
∴MB=2BD=2
∴S△PMB=MBPD=
×2×3=3
综上所述当点n=m时,△PMB的面积为
或3.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,△ABC的三个顶点在互相平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离是1,l2,l3之间的距离是2,则BC的长度为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB为直径的半⊙O 切CD于点E,F为弧BE上一动点,过F点的直线MN为半⊙O的切线,MN交BC于M,交CD于N,则△MCN的周长为( )
A.9 B.10 C.3 D.2
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【题目】在不透光的布袋里放入标有数字2,0,﹣3的三张的卡片(形状与质地完全相同).现在随机地抽出两张卡片,将两个数字分别记作某个点的横坐标与纵坐标.
(1)从布袋中同时抽取两张卡片时组成的所有点中,直接写出“点落入第四象限”概率是 ;
(2)如果抽出第一张卡片记录数字后放回布袋,再从袋中抽取第二张卡片记录数字后组成一个点,用画树状图或列表法,求出“点落在坐标轴上”的概率.
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【题目】如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
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【题目】如图,AD是△ABC的角平分线,过点D向AB,AC两边作垂线,垂足分别为E,F,那么下列结论中不一定正确的是( )
A. BD=CD B. DE=DF C. AE=AF D. ∠ADE=∠ADF
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【题目】2017年9月,我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”,本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读,某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查,随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:
(1)本次一共调查了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍,请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,运点P从点B出发,沿路线BC
D作匀速运动,那么△ABP的面积
与点P运动的路程之间的函数图象大致是( ).
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,∠AOB=20°,点M、N分别是边OA、OB上的定点,点P,Q分别是边OB、OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β-α的值为( )
A.19°B.40°C.9°D.29
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