已知如图1梯形ADEB中.AD⊥MN.BE⊥MN.垂足分别为点D.点E.点C在MN上.CD=BE.∠ACB=90°．(1)求证:∠ACD=∠CBE,(2)若DE=8.求梯形ADEB的面积,(3)如图2.设梯形ADEB的周长为m.AB边中点O处有两个动点P.Q同时出发.沿着O→A→D→E→B→O的方向移动.点P的速度是点Q的3倍.当点Q第一次到达B点时.两点同时停止移动．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．已知如图1梯形ADEB中，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D、点E，点C在MN上，CD=BE，∠ACB=90°．

（1）求证：∠ACD=∠CBE；
（2）若DE=8，求梯形ADEB的面积；
（3）如图2，设梯形ADEB的周长为m，AB边中点O处有两个动点P、Q同时出发，沿着O→A→D→E→B→O的方向移动，点P的速度是点Q的3倍，当点Q第一次到达B点时，两点同时停止移动．
①两点同时停止时，点P移动的路程与点Q移动的路程之差＜2m（填“＜”，“＞”或“=”）
②移动过程中，点P能否和点Q相遇？如果能，则用直线l连接相遇点和点O，并探索直线l与AB的位置关系，写出推理过程；如果不能，写出理由．

分析（1）根据同角的余角相等，即可证明；
（2）只要证明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，推出AD+BE=CD+CE=DE=8，根据S_梯形ADEB=$\frac{1}{2}$•（AD+BE）•DE计算即可；
（3）①两点停止时，Q的运动路程=OA+AD+DE+BE，P运动的路程=3（OA+AD+DE+BE），路程差=2（OA+AD+DE+BE），由此即可判断；
②结论：直线l⊥AB．只要证明相遇时，两点在点C处即可解决问题；

解答（1）证明：如图1中，

∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，

（2）解：在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{CD=BE}\\{∠ADC=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，
∴AD+BE=CD+CE=DE=8，
∴S_梯形ADEB=$\frac{1}{2}$•（AD+BE）•DE=32．

（3）①解：如图2中，

两点停止时，Q的运动路程=OA+AD+DE+BE，P运动的路程=3（OA+AD+DE+BE），
路程差=2（OA+AD+DE+BE），
∵OA+AD+DE+BE＜m，
∴路程差＜2m，
故答案为＜．
②结论：直线l⊥AB．理由如下：
设点Q的运动速度为V，则点P的运动速度为3V，运动时间为t．
相遇时：3Vt-Yt=m，
∴Vt=$\frac{m}{2}$，
由（1）可知AD=CE，CD=BE，OA=OB，
∴相遇时点Q、点P在点C处．
∵△ADC≌△CEB，
∴AC=CB，∵OA=OB，
∴OC⊥AB，即直线l⊥AB．

点评本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、梯形的面积公式、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

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