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已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3),顶点P(2,-1),直线x=m(m>3)交x轴于点D,抛物线交x轴于A、B两点(如图10).
(1)①求得抛物线的函数解析式为
y=x2-4x+3
y=x2-4x+3

②A、B两点的坐标是A(
(1,0)
(1,0)
),B(
(3,0)
(3,0)
);
③该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式是
y=-x2-4x-3
y=-x2-4x-3

④将已知抛物线平移,使顶点落在原点,则平移后得到的新抛物线的函数解析式是
y=x2
y=x2

(2)若直线x=m(m>3)上有一点E(E在第一象限),使得以B、E、D为顶点的三角形和以A、C、O为顶点的三角形相似,求E点的坐标(用m的代数式表示)
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,若存在,求出m的值及平行四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)①根据函数过点C(0,3),顶点坐标为(2,-1)可得出a、b、c的值,继而可得出解析式.②根据函数解析式可求出A、B两点的坐标.③设点(x,y)在对称后的函数图象上,则(-x,-y)在原函数图象上,代入可得出对称后的函数关系式.④关于y轴对称的二次函数解析式为y=ax2,结合①可得出答案.
(2)分别讨论,①当△EDB∽△AOC时,②当△EDB∽△COA时,根据相似三角形的对应边成比例得出ED的长,继而可得出点E的坐标.
(3)要使四边形ABEF为平行四边形,则点F横坐标m-2,纵坐标等于点E的纵坐标,将点F的坐标代入可得出m的值,继而也可求出平行四边形的面积.
解答:解:(1)①将点(0,3)代入可得c=3,
又∵顶点P(2,-1),
∴可得出-
b
2a
=2,
4ac-b2
4a
=-1,
解得:a=1,b=-4,
即可得抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3;
②由①得:y=x2-4x+3=(x-1)(x+3),
故可得出A(1,0),B(3,0);
③设点(x,y)在对称后的函数图象上,则(-x,-y)在原函数图象上,
故可得:-y=x2+4x+3,y=-x2-4x-3.
即关于原点成中心对称的抛物线解析式为:y=-x2-4x-3;
④平移后顶点落在原点的抛物线为y=x2

(2)①当△EDB∽△AOC时,
ED
AO
=
BD
CO
ED
1
=
m-3
3

则ED=
m-3
3
,得E1[m,
m-3
3
];
②当△EDB∽△COA时,
ED
CO
=
BD
AO
,即
ED
3
=
m-3
1

则ED=3(m-3),得E2(m,3m-9).
因为∠EDB=∠AOC=90°,所以只有这两种情况.

(3)在(2)的条件下,假设抛物线上存在点F,使四边形ABEF为平行四边形,
则EF=AB=2,点F横坐标m-2,纵坐标等于点E的纵坐标,
当点E坐标为:E1(m,
m-3
3
)时,F1(m-2,
m-3
3
)在抛物线上,
m-3
3
=(m-2)2-4(m-2)+3?3m2-25m+48=0

∴m=
16
3
或3(舍去),
这时F1(
10
3
7
9
),S平行四边形ABEF=2×
7
9
=
14
9

②当点E坐标为:E2(m,3m-9)时,F2(m-2,3m-9)在抛物线上,
则3m-9=(m-2)2-4(m-2)+3?m2-11m+24=0,
解得:m=8或3(舍去),这时F2(6,15),S平行四边形ABEF=2×15=30.
综上,存在m1=
16
3
,S平行四边形=
14
9
;存在m2=8,S平行四边形ABEF=30.
点评:此题考查了二次函数的综合题,解答本题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的知识,平行四边形的性质及相似三角形的性质,难度较大,注意细心求解.
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,k=
 

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2
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ca
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