Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①②③④⑤
• B、①②③④
• C、①③④⑤
• D、①④⑤

Answer 1

分析：①根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；
②由tan∠AED=

AD

AE

，AE=EF＜BE，即可求得tan∠AED=

AD

AE

＞2，即可得②错误；
③由AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S_△AGD＞S_△OGD；
④我们根据折叠的性质就能得出AE=EF，AG=GF，只要再证出AE=AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE=AG后就能证出AEFG是菱形了．
⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．

解答：解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，
∴①正确．

∵tan∠AED=

AD

AE

，AE=EF＜BE，
∴AE＜

1

2

AB，
∴tan∠AED=

AD

AE

＞2，
∴②错误．

∵AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，
∴③错误．

根据题意可得：AE=EF，AG=FG，
又∵EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
又∵∠AEG=∠FEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=EF=FG，
∴四边形AEFG是菱形，
∴④正确．

∵在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．
∴⑤正确．
故其中正确结论的序号是：①④⑤．
故选D．

点评：主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．