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如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.

(1)求证:AC平分∠DAB;

(2)求证:△PCF是等腰三角形;

(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.


解:(1)∵PD切⊙O于点C,

∴OC⊥PD.

又∵AD⊥PD,

∴OC∥AD.

∴∠ACO=∠DAC.

又∵OC=OA,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠DAC=∠CAO,

即AC平分∠DAB.

(2)∵AD⊥PD,

∴∠DAC+∠ACD=90°.

又∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°.

∴∠PCB+∠ACD=90°,

∴∠DAC=∠PCB.

又∵∠DAC=∠CAO,

∴∠CAO=∠PCB.

∵CE平分∠ACB,

∴∠ACF=∠BCF,

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,

∴∠PFC=∠PCF,

∴PC=PF,

∴△PCF是等腰三角形.

(3)连接AE.

∵CE平分∠ACB,

=

∵AB为⊙O的直径,

∴∠AEB=90°.

在Rt△ABE中,.       

∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,

∴△PAC∽△PCB,

又∵tan∠ABC=

设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,

∵PC2+OC2=OP2

∴(4k)2+72=(3k+7)2

∴k=6 (k=0不合题意,舍去).

∴PC=4k=4×6=24.


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