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    （2013•椒江区一模）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线y=
    14
    x2+1    上的一个动点．
    （1）如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA
    =
    =
    PB（直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；
    （2）请利用（1）的结论解决下列问题：
    ①如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，简单说明理由；
    ②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
    分析：（1）根据两点间的距离公式、二次函数图象上点的坐标特征推知PA=PB；
    （2）过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时，AP+PC取得最小值；
    （3）分类讨论：当点P位于第一象限和第二象限．先以点P位于第一象限进行分析：如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，构建相似三角形△ODE∽△OPF，则该相似三角形的对应边成比例，即
    OE
    OF
    =
    DE
    PF
    =
    1
    2
    ．故设设P（m，
    1
    4
    m2+1    ），则D（
    1
    2
    m    ，
    1
    8
    m2+
    1
    2
    ）．由（1）中的结论得到等式
    1
    8
    m2+
    1
    2
    =
    1
    4
    (
    1
    2
    m)2+1    ，据此可以求得点P的坐标为（2
    		2
    ，3），则易求直线OP的解析式为y=
    3
    		2
    4
    x．
    解答：解：（1）如图，∵点A的坐标为（0，2），点P（m，n），
    ∴AP2=m2+（n-2）2，①
    ∵点P（m，n）是抛物线y=
    1
    4
    x2+1    上的一个动点，
    ∴n=
    1
    4
    m2+1，
    ∴m2=4n-4，②
    由①②知，AP=n．
    又∵PB⊥x轴，
    ∴PB=n，
    ∴PA=PB．
    故填：=；

    （2）①过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，
    所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，
    此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，
    所以点P的坐标为（2，2）；

    ②当点P在第一象限时，如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，
    由（1）得：DA=DE，PA=PF
    ∵PA=2DA，∴PF=2DE，
    ∵△ODE∽△OPF，∴
    OE
    OF
    =
    DE
    PF
    =
    1
    2

    设P（m，
    1
    4
    m2+1    ），则D（
    1
    2
    m    ，
    1
    8
    m2+
    1
    2
    ）
    ∴
    1
    8
    m2+
    1
    2
    =
    1
    4
    (
    1
    2
    m)2+1    ，解得m=±2
    		2

    ∵点D在抛物线y=
    1
    4
    x2+1    上，（负舍去）
    此时P（2
    		2
    ，3），直线OP的解析式为y=
    3
    		2
    4
    x；
    当P在第二象限时，
    同理可求得直线OP的解析式为y=-
    3
    		2
    4
    x．
    综上，所求直线OP的解析式为y=
    3
    		2
    4
    x或y=-
    3
    		2
    4
    x．
    点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式以及轴对称--路线最短问题等知识点．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    1
    2
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    （1）若P在图2中的坐标为（2，4），则P到OA的距离为
    4
    4
    ，P到OB的距离为
    2
    2
    ，P到AB的距离为
    0.8
    0.8
    ，所以P到△AOB的距离为
    0.8
    0.8
    ；
    （2）若点Q是图2中△AOB的内切圆圆心，求点Q到△AOB距离的最大值；
    （3）若点R是图3中△AOB内一点，且点R到△AOB的距离为1，请画出所有满足条件的点R所形成的封闭图形，并求出这个封闭图形的周长．（画图工具不限）

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