Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）
设抛物线解析式y=a（x-1）²+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x²+2x+2．

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值．
（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（4）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．
点评：本题是综合性较强的题型，所给的信息比较多，解决问题所需的知识点也较多，解题时必须抓住问题的关键点．二次函数和圆的综合，要求对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶．要求学生解题具有条理，挖出题中所隐含的条件，会分析问题，找出解决问题的突破口．