Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，联结DE并延长至点F，使EF＝AE，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．

(1)求证：BC＝DF;

(2)若BD＝2DC，求证：GF＝2EG;

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)先证明△CDE是等边三角形，再根据∠CDE＝∠ABC＝60°推出DF∥AB，然后根据推出AF∥BC，从而得出四边形ABDF是平行四边形，于是AB＝DF，进一步即得结论；

(2)先用SAS证明△BCE≌△FDC，从而得∠CBE＝∠DFC，再证△BDE∽△FGE，于是可得，进一步即可证得结论．

证明：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵CD＝CE，∴△CDE是等边三角形，

∴∠CDE＝∠ABC＝60°，∴DF∥AB，

∵EF＝AE，DE＝CE，∴，∴AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，

又∵AB＝BC，∴BC＝DF；

(2)∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝DE，

又∵BC＝DF，∴△BCE≌△FDC（SAS），∴∠CBE＝∠DFC，

又∵∠BED＝∠FEG，∴△BDE∽△FGE，∴，

又∵CD＝DE，BD＝2CD，∴，

∴GF＝2EG．