Question

3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结BC′，求BC′的长．

Answer 1

分析 连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解．

解答 解：如图，连结BB′，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AB′C′．
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′=AB′，
延长BC′交AB′于点D，
又∵AC′=B′C′，
∴BD垂直平分AB′，
∴AD=B′D，
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴AB′=2
∴AD=B′D=1，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，C′D=$\sqrt{AC{′}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．