Question

4．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2交x轴于A点，交y轴于B点，C、D分别为OA、OB的中点，连接AD、BC相交于E点．
（1）求证：BE=2EC；
（2）求E点坐标．

Answer 1

分析 （1）连接DC，根据中位线定理可得CD∥AB，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据待定系数法求出AD、BC的函数解析式，联立方程组可求E点坐标．

解答 （1）证明：连接DC，
∵C、D分别为OA、OB的中点；
∴CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CDE=∠BAE，
∵∠DEC=∠BEA，
∴△DEC∽△AEB，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{DC}{AB}$，
∴BE=2EC；
（2）∵当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$×0+2=2，
当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$x+2=2，解得x=4，
∴B（0，2），A（4，0）
∵C、D分别为OA、OB的中点，
∴D（0，1），C（2，0），
设AD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
故AD的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+1；
设BC的解析式为y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{2m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}\right.$．
故BC的解析式为y=-x+2．
联立两解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+1}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
故E的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特，涉及待定系数法求函数解析式、解方程组等，是一道考查综合能力的题目．