Question

如图，已知抛物线c1：y=-

1

4

x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线c₂与抛物线c₁关于y轴对称，点A、B的对称点分别是E、D，连接CD、CB，设AD=m．
（1）抛物线c₂可以看成抛物线c₁向右平移

m

个单位得到．
（2）若m=2，求b的值．
（3）将△CDB沿直线BC折叠，点D的对应点为G，且四边形CDBG是平行四边形，
①△CDB为

等边

三角形（按边分）；
②若点G恰好落在抛物线c₂上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）对于抛物线c₁上的A点来说，当c₁平移到c₂时，点A运动到点D，因此c₂可看作c₁向右平移AD长（即m）个单位得到．
（2）c₂、c₁关于y轴对称，所以它们的开口方向、开口大小相同，与y轴交点相同，唯一不同的是对称轴关于y轴对称，所以两个解析式的二次项和常数项系数相同，不同的是一次项系数互为相反数，可据此设出c₂的函数解析式，则它们的对称轴的差的绝对值即为m的值，由此求出b．
（3）①由题意不难判断B、D关于y轴对称，那么△CBD首先是个等腰三角形，即∠CDB=∠CBD，而四边形CDBG是平行四边形，即∠GCB=∠CBD；△GCB由△DCB翻折所得，所以∠GCB=∠DCB=∠CBD，即△CDB的三个内角相等，因此这个三角形应该是等边三角形；
②这道小题要用到（2）、（3）①的结论，首先由（2）的结论用m、c表示出c₂的解析式，在等边△CDB中，OC=c，那么OD、OB的长也可由c表示出来，所以可以得到B、D的坐标（用c来表示），而CG∥x轴，且CG=BD，所以用c也可表达出G点的坐标，将G、D两点的坐标代入c₂的解析式中，即可求出m的值．

解答：解：（1）抛物线c₁图象上的A点向右平移m个单位后，得到抛物线c₂图象上的D点，故抛物线c₂可由抛物线c₁向右平移m个单位得到；
故填：m．

（2）抛物线c₁、c₂关于y轴对称，
已知，抛物线c₁：y=-

1

4

x²+bx+c，对称轴：x=2b；
则，抛物线c₂：y=-

1

4

x²-bx+c，对称轴：x=-2b；
由（1）知：抛物线c₂可由抛物线c₁向右平移m个单位得到，则：
-2b-2b=m，即：b=-

m

4

=-

1

2

．

（3）①如右图，若四边形CDBG是平行四边形，则∠GCB=∠CBD；
已知，△GCB由△DCB翻折所得，故∠GCB=∠DCB；
∴∠DCB=∠CBD；
由题意，知：B、D关于y轴对称，所以CB=CD，即：∠CDB=∠CBD；
∴∠DCB=∠DCB=∠CBD，即△CDB是等边三角形；
②在等边△CBD中，OB=OD，∠CDO=60°，OC=c，则：OD=OB=

3

3

c，即：D（-

3

3

c，0）；
∵CG∥x轴，且CG=BD=

2 3

3

c，
∴G（

2 3

3

c，c）；
由（2）的结论，可设抛物线c₂：y=-

1

4

x²+

m

4

x+c，代入D、G两点的坐标，得：

- 1 4 × 1 3 c2- m 4 × 3 3 c+c=0 - 1 4 × 4 3 c2+ m 4 × 2 3 3 c+c=c

解得：m=

8 3

3

．

点评：此题主要考查的是二次函数图象的平移、图形的对称和翻折以及平行四边形的性质；抛物线在对称或平移过程中，解析式中各系数的变化情况是需要牢固掌握的地方；难度较大．