Question

已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．
求证：（1）AE⊥BE；     （2）AB=AC+BD．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠CAB+∠DBA=180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=

1

2

∠CAB，∠EBA=

1

2

∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA=90°，进而可证出AE⊥BE；
（2）首先在AB上截取AF=AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA=∠FEA，可得到∠FEB=∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD=BF，即可证出AB=AC+BD．

解答：证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA=180°（1分）
又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠EAB=

1

2

∠CAB，∠EBA=

1

2

∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA=

1

2

(∠CAB+∠DBA)=90°，
∴AE⊥BE       （4分）

（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△CAE和△FAE中

AC=AF ∠CAE=∠FAE AE=AE

，
∴△CAE≌△FAE，
则∠CEA=∠FEA，（8分）
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
∵BE平分∠DBA，
∴∠DBE=∠FBE，
在△DEB和△FEB中

∠DEB=∠FEB EB=EB ∠DBE=∠FBE

，
∴△DEB≌△FEB（ASA），（10分）
∴BD=BF，又∵AF=AC，
∴AB=AF+FB=AC+BD．  （12分）

点评：此题主要考查了垂直，角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．