Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E，F为线段BC上的两点，且CE=BF，连接AF，过点C作CD⊥AF于点G，交AB于点D，连接DE，交AF于点M．
（1）求证：∠ACD=∠AFC；
（2）求证：ME=MF．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等可证∠ACD=∠AFC；
（2）如图，构造正方形ACBI，延长CD交BI于点H．根据圆内接四边形的性质可得∠2=∠6，再根据ASA证明Rt△ACF≌Rt△CBH，根据全等三角形的性质可得CF=BH，等量代换得到BE=BH，根据SAS证明△BDE≌△BDH，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠AGC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，即∠ACD=∠AFC；

（2）如图，构造正方形ACBI，延长CD交BI于点H．
则四边形BHGF是圆内接四边形，
∴∠2=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵四边形ACBI是正方形，
∴AC=CB，∠ACF=∠CBH=90°，∠7=∠8，
在Rt△ACF与Rt△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠5}\\{AC=CB}\\{∠ACF=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△CBH（ASA），
∴CF=BH，
∵CE=BF，
∴CF=BE，
∴BE=BH，
在△BDE与△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BH}\\{∠7=∠8}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDH（SAS），
∴∠4=∠6，
∴∠2=∠4，
∴ME=MF．

点评 考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的判定与性质，涉及的知识点有：同角的余角相等的性质，正方形判定与性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，难点是作出辅助线构造正方形．